Exercices : Loi Binomiale ou non Exercice 1. \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de coups dans la cible est égale au nombre de succès , d'après le cours , \(X\) suit la loi binômiale de paramètre 3 et 0,7. Représentation graphique de la loi binomiale. \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}} %��������� Un tireur vise une cible avec une chance sur deux de la toucher. On est donc en présence d'un schéma de Bernoulli: On appelle succés \(S\) " le tireur atteint la cible" avec la probabilité \(p=0,7\). On remplit ensuite les paramètres comme indiqué ci-contre. Fiches de synthèse. \DeclareMathOperator{\comat}{comat} On répète \(10\)  fois, de façon indépendante, l’expérience « on tire au hasard une pièce dans la production » qui comporte 2 issues : Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire \(X\) prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres \(10\)  et \(0,05\) notée \(\mathscr{B}(10;0,05)\) . stream Bien évidemment, sa probabilité p est égale à $\frac{1}{6}.$ On fait par exemple 6 essais et on souhaite que l'on y arrive 2 fois. \DeclareMathOperator{\supp}{supp} }\], \[P( X = 2)\approx 0.075 \text{ à } 10^{-3} \text{ près. Il tire 3 fois de suite. On retrouve la Liste 1 remplie avec les valeurs de 0 à 5. }\], \[P( X = 10)\approx 0.133 \text{ à } 10^{-3} \text{ près. On appelle "échec \(E\) " le tireur râte la cible" avec la probabilité \(q=0,3\). Lien entre Loi Binomiale et Coefficients Binomiaux. Enoncé A chaque tir la probabilité pour qu'un tireur touche la cible est 0,7. En particulier \(P(X=0)= \binom{n}{0}\left(\dfrac{1}{3}\right)^0\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-0}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^n\). (G. Frugier - Les probabilités sans les boules) Une chenille processionnaire descend le long d’un grillage. \newcommand{\mcp}{\mathcal{P}} Comme \(\dfrac{\ln (0,05)}{\ln \left(\dfrac{1}{6}\right)} \approx 16,43\) il faut donc dans ces conditions lancer le dé au moins 17 fois pour que l'on obtienne le 6 au moins une fois avec une probabilité supérieure ou égale à 0,95 . [} R�'�w�������rS���� �8_�h��bc{ؤ>��a�u>Px ���fh+@ﴭ�. \newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} ��@�]�`�:k��o�WxKIK)��'*r���jy�;��S�cS��K7UmoVh;���탬p�"R�D~������Жe+�M�v϶���~�e:V��T��pKXS�p %PDF-1.3 Même question lorsque le tireur a une chance sur trois de toucher la cible. C'est dans l'esprit de celui-ci que cette page a été rédigée. \newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} Afficher avec la calculatrice la loi de probabilité de X. : Le paramétrage suivant de la fenêtre Bpd permet de calculer \(\mathbb P(X=2)\) pour X suivant la loi Binomiale de paramètres \(n=5\) et \(p=0,7\). x�]ݒ%7����(X�f�r�T�,\��D�k�ib/.�Ƴ��{wۻ�\����>|))?�~T���`��ёR��W*%]����4��v���)����il��LUc��|�����u��gO��{*k����U���˗v2�`1`���LS�=��ޖ�>nʏooMi�ۗ��ܔ�_���:\������yp]]_ \(\fbox{2nd}~ \fbox{LIST} ~ \fbox {OPS}~ ~ 5 :seq\), \(\fbox{2nd}~\fbox{DISTR}~ ~0 :binompdf(\), Utilisation de la fonction TABLE des fonctions, \(\fbox{OPTN}~ \fbox{F1}~LIST ~ \fbox {F5}~Seq\), \(\fbox{F5}~ DIST~ ~ \fbox{F5} ~ BINM~ ~ \fbox{F1}~Bpd\), Lien entre Loi Binomiale et Coefficients Binomiaux, Représentation graphique de la loi binomiale. On met \(\fbox{List 2}\) en surbrillance puis \(\fbox{F5}~ DIST~ ~ \fbox{F5} ~ BINM~ ~ \fbox{F1}~Bpd\). Cette méthode, applicable uniquement sur TI, est décrite dans le document papier du paragraphe suivant. D'après ce tableau , l'événement \(S\geq8\) est réalisé (5+4+3+2+1 ) soit 15 fois. \newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} Tout d'abord on crée dans la liste L1 les valeurs de k possibles au moyen de la fonction SEQ se trouvant dans \(\fbox{OPTN}~ \fbox{F1}~LIST ~ \fbox {F5}~Seq\). \newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} }\], \[P( X \leq 2)\approx 0.988 \text{ à } 10^{-3} \text{ près. \newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}} Exercices supplémentaires : Loi binomiale Partie A : Loi binomiale Exercice 1 Dans une région pétrolifère, la probabilité qu’un forage conduise à une nappe de pétrole est 0,1. La première commande permet de stocker toute la loi de probabilité dans la liste L2.. La seconde commande permet d'obtenir la probabilité \(\mathbb P(X=2)\). Pour tout entier \(k\) où \(0\leq k\leq 10\), on a \[P(X=k)=\binom{10}{k}\times \left(0,05\right)^k\times\left( 0,95\right)^{10-k}\], 2ND DISTR 0binomFdP( 10 , 0.05,2)EXE Avec une calculatrice de type TI \(binomFdP(10,0.05,2) \approx 0.075\), 2ND DISTR AbinomFRép( 10 , 0.05,2)EXE Avec une calculatrice de type TI \[binomFR\text{é}p(10,0.05,2) \approx 0.988\]. \newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} La première commande permet de stocker toute la loi de probabilité dans la liste L2. \newcommand{\mch}{\mathcal{H}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}} \DeclareMathOperator{\ch}{ch} Exercice. \DeclareMathOperator{\vect}{vect} X est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres \(n=5\) et \(p=0,7\). La fonction s'utilise avec la syntaxe ci-contre. Probabilités : loi binomiale des exercices avec corrigé ... Exercice 1 . �w����h��o�����o#ۙ���x�ڧd��08H��<8c���]_v�Pg�=�t��ue�ӳ�/?Pb�P���7�#zqr�a��B�p���� �Ӌ��J�����`SOU=4��p?r$h�ӿ.i�a��GU���5i���(�p�Rh����Mq�>p_�S�=�up-]y�e����ۮ�`������^�1��02�5U?�K4A������n��D��z�����_~�?ڛ"/�mm��k#yʼm�d�ض��U[wU=_U�=p�7�5���ik�j���� Comme \(\dfrac{\ln (0,05)}{\ln \left(\dfrac{2}{3}\right)}\approx 7,39\) il faut donc dans ces conditions que le tireur vise la cible 8 fois pour qu'il atteigne au moins une fois avec une probabilité supérieure ou égale à 0,95 . On commence par afficher le tableau de valeurs exprimant P(X=k) pour k entier, 0≤k≤5. \newcommand{\mtr}{\mathbb{R}} \newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\mcun}{\mcu_n} A chaque tir la probabilité pour qu’un tireur touche la cible est 0,7. \DeclareMathOperator{\imv}{Im} Utilisation de la calculatrice. La variable aléatoire \(X\) est définie par le nombre de coups dans la cible. Exercice sur la loi normale avec calculatrices TI . Considèrons l'univers \(\Omega\) des couples \((a,b)\) où \(a \in[0;6]\) et \(b \in [0;6]\). Aujourd’hui, la loi binomiale est au programme du secondaire. b) Même question lorsque le tireur a une chance sur trois de toucher la cible. Accueil. Publié dans Exercices en TS. Publié par Luc GIRAUD. \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)} On considère un lancer de 2 dés , deux issues sont possibles: On répète \(20\)  fois, de façon indépendante, l’expérience « un joueur effectue un lancer de 2 dés » qui comporte 2 issues : Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire \(X\) prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres \(20\)  et \(\dfrac{5}{12}\) notée \(\mathscr{B}(20;\dfrac{5}{12})\) . La loi de probabilité se trouve alors disponible dans le menu \(\fbox{STAT}~ ~1 : Edit...\). Cette fois-ci \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de succès suit la loi binômiale de paramètre \(n\) et \(p=\dfrac{1}{3}\).\(X\) prend les valeurs entières \(k\) où \(0\leq k\leq n\) et \(P(X=k)=\binom{n}{k}\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^k\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-k}\). Tout d'abord, on crée dans la liste L1 les valeurs de k possibles au moyen de la fonction SEQ se trouvant dans \(\fbox{2nd}~ \fbox{LIST} ~ \fbox {OPS}~ ~ 5 :seq\). On répète trois fois de suite cette expérience de façon indépendante et donc. \DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} 2) On effectue 9 forages. Exercices corrigés sur la loi binomiale en première S Exercice 01 : Coefficients binomiaux Sans utiliser la calculatrice, donne les valeurs des nombres suivants : En utilisant un arbre ou une calculatrice, donner les valeurs des nombres suivant : Exercice 02 : Tirage Dans une boite, un enseignant dispose de dix stylos dont trois noirs….. Comme \(\dfrac{\ln (0,05)}{\ln \left(\dfrac{1}{2}\right)} \approx 4,32\) il faut donc dans ces conditions que le tireur vise la cible 5 fois pour qu'il atteigne au moins une fois avec une probabilité supérieure ou égale à 0,95 . 1) Justifier que la réalisation d’un forage peut être assimilée à une épreuve de Bernoulli. A l'aide d'une calculatrice on obtient la loi de probabilité de \(X\): 2ND DISTR 0binomFdP( 3 , 0.7,2)EXE Avec une calculatrice de type TI \(binomFdP(3,0.7,2) \approx 0.441\), Remarque: Sur TI 89 on peut créer un fonction ou un programme sur la calculatrice, si on veut afficher directement la loi de probabilité de \(X\), \(F\) la fonction de répartition de \(X\) est définie par \(F(x)=P(X\leq x)\). Déterminons la loi de probabilité de \(S\): la variable aléatoire égale à la somme des deux numéros. Un tireur vise une cible avec une chance sur deux de la toucher. 2ND DISTR 0binomFdP( 20 , 5/12,10)EXE Avec une calculatrice de type TI \(binomFdP(20,5/12,10) \approx 0.133\), \[ \( V(X)=n\times p\times q=3\times 0,7\times (1-0,7)=0,63\). Elle descend ainsi quatre niveaux. \DeclareMathOperator{\diam}{diam} \DeclareMathOperator{\sh}{sh} Avec nos notations, l'événement :"On obtient 10 fois une somme supérieure ou égale à 8" s'écrit \(X=10\). Déjà en utilisant l'événement contraire, on a \(P(X\geq 1)=1-P(X=0) =1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\), \[\begin{array}{lll} P(X\geq 1) \geq 0,95&\iff 1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^n\geq 0,95&\\ &\iff -\left(\dfrac{2}{3}\right)^n\geq -0,05& \\ & \iff \left(\dfrac{2}{3}\right)^n\leq 0,05&\\ &\iff \ln (\left(\dfrac{2}{3}\right)^n)\leq \ln (0,05)& \text{ en appliquant la fonction } \ln \\ && \text{ qui est strictement croissante sur} ]0;+\infty[.\\ & \iff n\times\ln \left(\dfrac{2}{3}\right)\leq \ln (0,05)& \\ & \iff n \geq \dfrac{\ln (0,05)}{\ln \left(\dfrac{2}{3}\right)}& \text{ car ayant } 0<\dfrac{1}{3}<1 \text { on déduit} \ln \left(\dfrac{2}{3}\right)<\ln (1) \\ && \text{ soit } \ln \left(\dfrac{2}{3}\right)<0\\ \end{array}\]. Pour tout entier \(k\) où \(0\leq k\leq 20\), on a \[P(X=k)=\binom{20}{k}\times \left(\dfrac{5}{12}\right)^k\times\left( \dfrac{7}{12}\right)^{20-k}\]. \newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} La seconde commande permet d'obtenir la probabilité \(\mathbb P(X=2)\). \newcommand{\croouv}{[\! La fonction s'utilise avec la syntaxe ci-contre. Au bout de 20 lancers quelle est la probabilité d’avoir obtenu 10 fois un total supérieur ou égal à 8 ? \newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}} « le tireur atteint la cible » considéré comme succès, de probabilité \(p=\dfrac{1}{2}\), « le tireur râte la cible » considéré comme échec, de probabilité \(q=1-p=\dfrac{1}{2}\), « la pièce va au rebut » considéré comme succès, de probabilité \(p=0,05\), « la pièce ne va pas au rebut » considéré comme échec, de probabilité \(q=1-p=0,95\), « le joueur obtient un 6 » considéré comme succès, de probabilité \(p=\dfrac{1}{6}\), « le joueur n'obtient pas un 6 » considéré comme échec, de probabilité \(q=1-p=\dfrac{5}{6}\), « La somme des deux numéros est supérieure ou égale à 8 » considéré comme succès, de probabilité \(p=\dfrac{5}{12}\), « La somme des deux numéros est strictement inférieure à 8 » considéré comme échec, de probabilité \(q=1-p=\dfrac{7}{12}\). Loi binomiale cumulée. \newcommand{\mcb}{\mathcal{B}} Représenter graphiquement la loi suivie par X par un diagramme en bâtons. \newcommand{\mtc}{\mathbb{C}} Une autre méthode est possible : utiliser la fonction TABLE de VALEURS de la calculatrice avec la fonction \(Y1=Binompdf(5,0.7,X)\). a) Combien doit-il tirer de coups afin que la cible soit atteinte avec une probabilité supérieure ou égale à 0,95 ? \], \[P( X = 2)\approx 0.441 \text{ à } 10^{-3} \text{ près. \DeclareMathOperator{\th}{th} Un exemple sur la loi binomiale Imaginons qu'on veut obtenir le "1" d'un dé cubique non truqué. \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} Ensuite on calcule la loi de probabilité de la loi binomiale de paramètres n=5 et p=0,7 en allant dans le \(\fbox{MENU}~ STAT 2\). À chaque épissure, elle prend la maille de droite une fois sur trois, celle de gauche deux fois sur trois. La cible soit atteinte signifie ici , avec nos notations \(X\geq 1\), On cherche ici \(n\) tel que \(P(X\geq 1) \geq 0,95\), Déjà en utilisant l'événement contraire, on a \(P(X\geq 1)=1-P(X=0) =1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\), \[\begin{array}{lll} P(X\geq 1) \geq 0,95&\iff 1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \geq 0,95& \\ &\iff -\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \geq -0,05&\\ &\iff \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \leq 0,05&\\ & \iff \ln\left(\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right)\leq \ln (0,05)& \text{ en appliquant la fonction } \ln \\ && \text{ qui est strictement croissante sur } ]0;+\infty[.\\ & \iff n\times \ln \left(\dfrac{1}{2}\right)\leq \ln (0,05)& \\ & \iff n \geq \dfrac{\ln (0,05)}{\ln \left(\dfrac{1}{2}\right)} & \text{ car ayant } 0 < \dfrac{1}{2} < 1 \text{ on déduit} \\ & & \ln \left(\dfrac{1}{2}\right)< \ln (1) \text { soit } \ln \left(\dfrac{1}{2}\right) < 0 \end{array}\]. D'après un théorème du cours \(E(X)=n\times p\) ici \(E(X)=np=3\times 0,7=2,1\). Combien doit-il tirer de coups afin que la cible soit atteinte avec une probabilité supérieure ou égale à 0,95 ? a. \newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*} \(X\) prend les valeurs entières \(k\) où \(0\leq k\leq 3\) et \(P(X=k)=((3),(k))*0,7^k*0,3^(3-k)\). 4 0 obj On lance 2 dés puis on totalise les points marqués. On répète \(n\)  fois, de façon indépendante, l’expérience « le tireur vise la cible » qui comporte 2 issues : Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire \(X\) prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres \(n\)  et \(\dfrac{1}{2}\) notée \(\mathscr{B}(n;\dfrac{1}{2})\) . La fonction s'utilise avec la syntaxe ci-contre : Ensuite on calcule la loi de probabilité de la loi binomiale de paramètres n=5 et p=0,7 au moyen de la fonction binompdf se trouvant dans \(\fbox{2nd}~\fbox{DISTR}~ ~0 :binompdf(\). \DeclareMathOperator{\card}{card} Donc \(P(S\geq8)=\dfrac{Card(S\geq8)}{(Card(\Omega)}= \dfrac{15}{36}=\dfrac{3\times 5}{3\times 12}=\dfrac{5}{12}\). ��C5Z ��HyC �8US?u��s pE �SS�n�~z^�ׅ͋���^��?�۠��_�Sh��S���Y�O��~���m!�aZb�8���S�³�@��q?���gp��E� �F覯���݊c6�g��J(�J��:����O��UB�e�56��p���π�8�'��[��X��_70?B�� ��W��%H�2�;�o?��a�iQ��m��6Q~�tZH���T������׋���` �� ��v?��@D!�ͳz�R,�DC�ؕ �"�pv��/n�s�'�&�F��y���+V����ׯ�y�b�skf��4.g8H��lnz���Iȅ�l!+�����(�vUm�Ί����� \newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} Introduction. Tester ses connaissances. \DeclareMathOperator{\rang}{rg} Pour tout entier \(k\) où \(0\leq k\leq n\), on a \[P(X=k)=\binom{n}{k}\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^k\times\left( \dfrac{1}{2}\right)^{n-k}\]. \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)} Méthode : Représenter une loi binomiale par un diagramme en bâtons Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètre n = 5 et p = 0,4. << /Length 5 0 R /Filter /FlateDecode >> On répète \(n\)  fois, de façon indépendante, l’expérience « le joueur lance un dé bien équilibré » qui comporte 2 issues : Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire \(X\) prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres \(n\)  et \(\dfrac{1}{6}\) notée \(\mathscr{B}(n;\dfrac{1}{6})\) . \newcommand{\mtn}{\mathbb{N}} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}} }\], Probabilités : loi binomiale des exercices avec corrigé. Avec Texas Instruments : Pour tout entier \(k\) où \(0\leq k\leq n\), on a \[P(X=k)=\binom{n}{k}\times \left(\dfrac{1}{6}\right)^k\times\left( \dfrac{5}{6}\right)^{n-k}\], Déjà en utilisant l'événement contraire, on a \(P(X\geq 1)=1-P(X=0) =1-\left(\dfrac{1}{6}\right)^n\), \[\begin{array}{lll} P(X\geq 1) \geq 0,95&\iff 1-\left(\dfrac{1}{6}\right)^n \geq 0,95& \\ &\iff -\left(\dfrac{1}{6}\right)^n \geq -0,05&\\ &\iff \left(\dfrac{1}{6}\right)^n \leq 0,05&\\ & \iff \ln\left(\left(\dfrac{1}{6}\right)^n\right)\leq \ln (0,05)& \text{ en appliquant la fonction } \ln \\ && \text{ qui est strictement croissante sur } ]0;+\infty[.\\ & \iff n\times \ln \left(\dfrac{1}{6}\right)\leq \ln (0,05)& \\ & \iff n \geq \dfrac{\ln (0,05)}{\ln \left(\dfrac{1}{6}\right)} & \text{ car ayant } 0 < \dfrac{1}{6} < 1 \text{ on déduit} \\ & & \ln \left(\dfrac{1}{6}\right)< \ln (1) \text { soit } \ln \left(\dfrac{1}{6}\right) < 0 \end{array}\]. Ensuite on calcule la loi de probabilité de la loi binomiale de paramètres n=5 et p=0,7 au moyen de la fonction binompdf se trouvant dans \(\fbox{2nd}~\fbox{DISTR}~ ~0 :binompdf(\).. La fonction s'utilise avec la syntaxe ci-contre. La loi de probabilité de X est de tableau donnant  : en première liste, le nombre de succès possible, donc tous les entiers k allant de 0 à n. en deuxième liste, les probabilités d'obtenir exactement 0, 1, ..., \(n\) succès parmi les n épreuves. \newcommand{\mtk}{\mathbb{K}} Utilisation de la calculatrice Équipe Académique Mathématiques Page 1 Bordeaux Loi Binomiale et calculatrice La variable aléatoire X suit la loi binomiale b(n;p) ; alors k 1 nk n PX k p p k avec 0 kn Nous choisissons ici une variable aléatoire X qui suit la loi binomiale b(10;0,3) Casio : Graph 35+ et … Quand vous aurez assimilé les bases, vous pourrez consulter la page sur la loi binomiale avec Excel.. Présentation \newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}