n La suite de Fibonacci présente de remarquables propriétés. 2 F n F φ − n + (On peut donc l'interpréter comme le nombre de façons différentes de paver un rectangle 2×N au moyen de dominos 2×1. p F ( k est égal au nombre de suites finies d'entiers égaux à 1 ou 2 dont la somme est égale à ), si bien que (comme la suite des quotients de la suite de Fibonacci) la suite Vous pouvez ajouter ce document à votre ou vos collections d'étude. ∀ ∈ − , Coefficients binomiaux Triangle de Pascal Le triangle de Pascal se construit ligne par ligne : chaque terme est l'addition des deux nombres de la ligne supérieure qui lui sont adjacents. F F + F ′ Néanmoins, la précision de calcul de la racine carrée génère des erreurs d'arrondis pour des valeurs assez grandes dépendant du système utilisé. − q n − ∀ définie par la même relation de récurrence mais avec pour initialisation 2 {\displaystyle 2^{a}3^{b}} . φ k En utilisant la relation matricielle suivante, que l'on montre par récurrence : ou avec les propriétés de la suite de Fibonacci, on obtient : En prenant bien soin de ne pas calculer deux fois les mêmes éléments, on obtient alors un algorithme dont le temps de calcul est proportionnel au logarithme de n. En retravaillant les relations de récurrence pour le cas pair on obtient : Le programme FRACTRAN défini par la liste de fractions [23/95, 57/23, 17/39, 130/17, 11/14, 35/11, 19/13, 1/19, 35/2, 13/7, 7] et appliqué à l'entier 3 génère une suite qui contient tous les termes de la forme n {\displaystyle n} n z L F n José Wuidar est professeur de mathématiques en sciences économiques et de gestion aux Facultés universitaires de Namur. 1 − + + p − est équivalente à 1 2 − ) 2 1 There is a list of all {\displaystyle {\mathcal {F}}_{(p+1)n}} n p ( par un entier a consiste à étudier la suite des restes de = z 2 {\displaystyle n} 2 F n a En général, on obtient les bonnes valeurs jusqu’à − ( b ( Parmi ces suites de nombres, il faut signaler les nombres de Lucas obtenus en choisissant comme initialisation : 1 k ) − Une première approche de la question de la divisibilité de k 0 La seconde égalité est immédiate et la première résulte de la propriété 9 : Propriété 11 : 1 ou si , Plus précisément, l'étude de cette récurrence dans le corps Z/pZ (où p est un nombre premier) amène à des formules analogues à la formule de Binet, d'où l'on déduit finalement (selon que 5 est ou n'est pas un carré modulo p ; voir la loi de réciprocité quadratique) que 1 , 0 F ( 1 = 1 Z p , F On peut aussi la démontrer par une récurrence d'ordre 2 sur n : Propriété 13 : 1 + p Des résultats plus précis peuvent d'ailleurs être obtenus ; ainsi, dans le premier cas, L / ∈ u Cette suite est fortement liée au nombre d'or, φ (phi). L Parmi ces suites, on distingue la suite de Tribonacci (récurrence d'ordre 3) et la suite de Tetranacci (récurrence d'ordre 4). F n ) {\displaystyle \forall (a,b)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} ^{*},~{\mathcal {F}}_{a}\land {\mathcal {F}}_{b}={\mathcal {F}}_{a\land b},} La suite de Fibonacci est une suite d'entiers dans laquelle chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent. F − + z Cette propriété se déduit immédiatement de l'expression de la série génératrice (voir supra). φ 0 {\displaystyle V_{0}=2} F 0 Prestation assurée par CIC banque. 2 {\displaystyle {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}} 2 ≤ + , , converge vers le nombre d'or, , p − {\displaystyle n+2} + cos k {\displaystyle {\mathcal {F}}_{5n}} Par une récurrence immédiate[4] sur z p 2 et z 1 k ′ 1 Les livres sont emballés dans un plastique bulle et expédiés dans un carton renforcé aux angles. 0 {\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}} 1 = + n n a F {\displaystyle U_{1}=1} n n , k ) q (identité de Cassini[4]). {\displaystyle n} 1 k ( vérifie p =   = {\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}={\mathcal {F}}_{2}=1} ) n − Un moyen bien plus efficace de calculer la suite de Fibonacci consiste à calculer simultanément deux valeurs consécutives de la suite. n a = 308 061 521 170 129, sur ordinateur ou sur calculatrice. {\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}=3} , ∈ 50 φ ∧ k p n {\displaystyle s(z)=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\mathcal {F}}_{n}z^{n}.} d 0 Cela s'explique par le mécanisme de développement de la plante (voir le, La plupart des êtres vivants sexués sont issus de deux parents, de sorte que leurs ancêtres à la. r ∈ Calculer les nombres de Fibonacci à partir du nombre d'or est une possibilité très pratique. F z F ≈ Le jeu génère donc aléatoirement la galaxie, mais il peut ensuite la générer exactement de la même façon lorsqu'une partie est sauvegardée puis rechargée. 2 φ ». ) 5 + ( {\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}=1} = 1 1 1 Nhésitez pas à envoyer des suggestions. ) n r }, Propriété 2 : p Tout entier positif se décompose de manière unique en la somme de nombres de Fibonacci d'indice supérieur ou égal à 2, les indices successifs de ces nombres ayant une différence supérieure ou égale à 2 lorsqu'ils sont rangés dans l'ordre. {\displaystyle {\mathcal {F}}_{3}=2} F p Propriété 15 : La factorisation des polynômes de Fibonacci permet d'exprimer les = 3 {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}} ) + p F p p − n F ) + . , − On obtient ainsi la forme récurrente de la suite de Fibonacci : chaque terme de cette suite est la somme des deux termes précédents ; pour obtenir chacun de ces deux termes, il faut faire la somme de leurs termes précédents… et ainsi de suite, jusqu'à ce que ces deux termes soient les deux termes initiaux, Z 2 , {\displaystyle {\mathcal {F}}_{50}} 0 n . 1   Cela donne la suite 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29,… On trouve parfois une initialisation , et pour laquelle l'analogue de la formule de Binet est : n , = Comme l'avait déjà remarqué Johannes Kepler[2], le taux de croissance des nombres de Fibonacci, c'est-à-dire Cf f (b) λ f (a) a c b F IGURE 65.2 – Cas d’une fonction monotone Cf f (b) λ f (a) a c b F IGURE 65.3 – Cas d’une fonction non monotone Exemple 65.8 Tout polynôme de polynôme P (à coefficients réels) de degré impair admet (au moins) une racine réelle. Ce sont des suites dont la relation de récurrence est d'ordre k. Un terme est la somme des k termes qui le précèdent. F 0 (donc à 2 En général, on n'étudie pas les nombres de Fibonacci pour des valeurs négatives de n, bien que la formule de récurrence les définisse aussi de proche en proche : est divisible par p sinon. z 1 {\displaystyle \forall (k,n)\in \mathbb {Z} ^{2},{\mathcal {F}}_{n}{}|{}{\mathcal {F}}_{nk}.}. Remarquons qu'une fois découverte, cette formule se démontre aussi par récurrence (y compris pour n entier négatif). 0 ) {\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}={\mathcal {F}}_{n+1}+{\mathcal {F}}_{n-1}\,} = ∧ On a donc, pour tout entier ) Dans le jeu Elite sur BBC Micro, les développeurs ont utilisé la suite de Fibonacci pour permettre au jeu de tenir dans 22 ko. F {\displaystyle u_{n+1}=1+1/u_{n}{\text{ et }}u_{n}^{2}-u_{n}-1=(-1)^{n}/{\mathcal {F}}_{n}^{2}} 5 = … + La suite de Fibonacci est une suite d'entiers dans laquelle chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent. F 50 n p u ∀ n 1 L {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}} {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}={\mathcal {F}}_{n+2}-{\mathcal {F}}_{n+1}} p ou encore : Par exemple, le terme d'indice, Les nombres de Fibonacci interviennent dans l'étude de l'exécution de l', Les nombres de Fibonacci apparaissent dans la formule des diagonales du, Les nombres de Fibonacci apparaissent souvent dans la nature lorsque des spirales logarithmiques sont construites à partir d'une unité discrète, telles que dans les tournesols ou dans les pommes de pin. F F n {\displaystyle {\mathcal {F}}_{p}{\mathcal {F}}_{q+r}-{\mathcal {F}}_{r}{\mathcal {F}}_{p+q}=(-1)^{r}{\mathcal {F}}_{p-r}{\mathcal {F}}_{q}. 0 = , ≤ et p Quand n tend vers +∞, 1,61803398874989…, et d'après la formule de Binet, 0 8 n n Compte tenu de l'ordre de grandeur de ce réel, le théorème des accroissements finis permet de s'assurer que pour le calculer à 0,5 près par défaut, 1,61803398874989 est une approximation suffisante de est le nombre d'or. = − . a p − 2 n ) n z }, Par somme et différence, il revient au même de démontrer que. n Or, n'engendrent au mois F n β ) F , F {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\quad \sum _{0\leq i